容斥极值公式：2022国考行测备考：理解文氏图，搞定容斥问题

两者容斥

【理论讲解】

1.理解两者容斥文氏图中的各个区域含义。

例：一个班级喜欢美术的有35人，喜欢音乐的有34人。两个都喜欢的有10人，都不喜欢的有4人。

这是一段材料我们可以这样来画文氏图表示这个班级有关此种分类的情况。

红圈表示喜欢美术的人，绿圈表示喜欢音乐的人。整个方框I代表全班的人。

那我们来分析分析以下区域所对应的实际概念应该是什么。

例子：①+②：喜欢美术的人

① ：

② ：

③ ：

④ ：

①+② ：

①+③ ：

①+④ ：

①+②+③ ：

① ：只喜欢美术的人(喜欢美术但不喜欢音乐)

② ：美术和音乐都喜欢的人(同时喜欢两项的人)

③ ：只喜欢音乐的人

④ ：既不喜欢美术又不喜欢音乐的人(两项都不喜欢的人)

①+② ：喜欢美术的人(可能喜欢音乐也可能不喜欢音乐)

①+③ ：只喜欢美术或只喜欢音乐的人(只喜欢一项的人)

①+④ ：不喜欢音乐的人(只喜欢音乐的+都不喜欢的人)

①+②+③ ：至少喜欢一项的

搞清楚以上含义以后，我们就能灵活应对题目中的条件和容斥不重不漏的原则解决我们的容斥问题了。

2. 解题原则：不重不漏。

文氏图中每个区域只能被计算一次。

我们现在想要用已知条件拼凑出整体I，喜欢美术的人是A，喜欢音乐的人是B，都喜欢是①，都不喜欢的是④。A+B属于A区域面积加上B区域面积，但是A和B都包括了①，所以①被计算了两次要减掉一次。那我们用A+B-①+④即=I。

①也可以表示成A⋂B，④我们通常用M表示。

即： A+B-A⋂B+M=I

【例题实战】

1.一个班级喜欢美术的有35人，喜欢音乐的有34人。两个都喜欢的有3人，不喜欢的有4人。求这个班级一共有多少人?

求解：35+34-3+4=70人。

三者容斥

【理论讲解】

1.理解三者容斥中各部分概念

例：补上C为喜欢体育的人

其中①+②+③ 是：只喜欢一种课程的人

填充为蓝色的是：喜欢两种课程的人

黑色的是：喜欢三种课程的人

蓝色+黑色是：喜欢不只一种课程的人(一种以上)

最上方的蓝色：同时喜欢美术A和音乐B但不喜欢体育C的

2.不重不漏

(1)如果我们用A+B+C来计算有至少喜欢一种课程的人数的话，蓝色部分即被计算了两次，要扣除一次做到不重复;黑色部分即被计算了三次，要扣除两次做到不重复。通常我们用M表示④区域，即三种课程都不喜欢的人。

即得到

A+B+C-只喜欢两种课程的人-2*喜欢三种课程的人+M=I(全班人数)

(2)若题目中只给了A、B、C和同时喜欢AB、同时喜欢BC、同时喜欢AC的人和同时喜欢ABC的和都不喜欢的人数。我们可以表示成：

A+B+C-A⋂B-A⋂C-B⋂C+A⋂B⋂C+M=I

因为A⋂B⋂C在被计算了三次，在中被减掉了三次，相当于没有纳入计算，要加回来。

容斥极值问题

容斥极值问题是问多个集合的全部集合共同交集的最小值(A⋂B、A⋂B⋂C的最小值)。我们直接记忆公式：

1、两者容斥极值:(A⋂B)min = A+B-I

2、三者容斥极值(A⋂B⋂C)min = A+B+C-2I

以此类推可得其他容斥问题极值：

四者容斥极值：(A⋂B⋂C⋂D)min = A+B+C+D-3I

例题实战

1.一个班级40人喜欢美术的有35人，喜欢音乐的有34人，喜欢体育的15人。请问同时喜欢美术、体育、音乐的人最多有多少?最少有多少?

一、最多

若要使同时喜欢三项的人最多，那就尽量让他们出现兴趣出现重叠。那让人数最少的喜欢体育的人全部喜欢音乐，此时15人同时喜欢体育和音乐。再让这些人也全部喜欢美术。此时同时喜欢三项的人最多，即15人。

其实没有其他限定条件是，(A⋂B⋂C)max即为三者中最小的一个。

二、最少

代入公式中：(A⋂B⋂C)min=35+34+15-2*40=4人

容斥问题整体比较简单，出题空间较小。无论考生基础好坏，在理解概念后，再做适量的练习题加深理解巩固知识后都可以掌握此类题型的题目。做到考场不因容斥题型而失分。在前期做题时，一定要多画图，帮助解题和理解容斥类题型。做了一定题目后可能做到“纸上无图，心中有图”的境界后，定能快速解决这一类型的所有题目。